Chapitre 5 – Espaces vectoriels applications linéaires
• {0 E } et E sont des sev de l’ev E.
• R 0 [X] (ev des fonctions constantes) est un sev de R 1 [X] (ev des
fonctions affines), lui-même sev de R 2 [X]... Et, pour tout n ∈ N, l’ev
R n [X] des polynômes de degré n est un sev de R [X].
Théorème. F est un sev de E ssi :
• F ⊂ E et 0 E ∈ F ;
• u ∈ F, v ∈ F ⇒ u + v ∈ F ;
• u ∈ F, a ∈ R ⇒ a · u ∈ F.
On utilise ce théorème — et jamais la définition — pour montrer qu’un
ensemble est un ev, en établissant que l’ensemble en question est un sev
d’un ev de référence.
• Pour n ∈ N ∪ {∞}, l’ensemble C
n (I) des applications de classe C
n
de l’intervalle I dans R est un ev. En effet, d’après § 1.3.1 :
– C
n (I) est inclus dans l’espace vectoriel de référence R
I , et la fonction
nulle I → R, x → 0 appartient à C
n (I) ;
– si f, g ∈ C
n (I), alors f + g ∈ C
n (I) ;
– si f ∈ C
n (I) et a ∈ R, alors af ∈ C
n (I).
C
n (I) est donc un sev de R
D , donc un ev. On peut préciser que si
n n , C
n (I) est un sev de C
n
(I).
• L’ensemble F =
a b
c d
; a + d = 0
est un ev car c’est un
sev de M 2 (R). En effet :
– F ⊂ M 2 (R) et la matrice nulle
0 0
0 0
appartient à F ;
– si M =
a b
c d
et M =
a b
c d
appartiennent à F et a
à R, alors M + M =
a + a b + b
c + c d + d
et aM =
aa ab
ac ad
appartiennent à F car
a + a
+
d + d
= (a + d) +
a
+ d
= 0 + 0 = 0
et
aa + ad = a (a + d) = a0 = 0.
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