Partie 2 – Algèbre linéaire
• 0 · u = 0 E , a · 0 E = 0 E , et a · u = 0 E ⇒ a = 0 ou u = 0 E .
Attention, quant A et B sont deux matrices carrées d’ordre n, le
produit AB peut être nul sans que A ou B ne le soit.
Exemples. Les espaces vectoriels de référence sont les suivants :
• L’ensemble R
2
= {(x, y) |x ∈ R, y ∈ R} est un ev pour les opérations :
(x, y) +
x
, y
=
x + x
, y + y
; a (x, y) = (ax, ay)
On définit de même les ev R
n pour n ∈ N (avec R
1
= R, R
0
= {0}).
• Avec n, p dans N ∗ , l’ensemble M n,p (R) des matrices réelles à n lignes
et p colonnes est un ev pour l’addition des matrices et la multiplication
d’une matrice par un nombre réel, voir § 4.2.2. Si E et F sont des ev,
l’ensemble L (E, F) des applications linéaires de E dans F est un ev, voir
§ 5.3.1.
• L’ensemble R [X] des polynômes réels et les ensembles R n [X] des
polynômes réels de degré n (n ∈ N) sont des espaces vectoriels pour
les opérations P + Q, aP, voir le § 6.2 de l’Introduction. On a d’ailleurs
les inclusions R 0 [X] ⊂ R 1 [X] ⊂ R 2 [X] ⊂ · · · ⊂ R [X].
• L’ensemble R
N des suites numériques est un ev pour les opérations :
(u n ) n∈N + (v n ) n∈N = (u n + v n ) n∈N ; a · (u n ) n∈N = (au n ) n∈N
• Plus généralement, D étant un ensemble non vide, l’ensemble R
D des
applications de D dans R est un ev pour les opérations
( f + g) (x) = f (x) + g (x) ; (a · f ) (x) = af (x)
avec f, g ∈ R
D ; a ∈ R ; x ∈ D.
Avec D = N, on a bien l’ev des suites numériques. On retient (avec
D = I) que l’ensemble des applications de l’intervalle réel non vide
I dans R est un ev.
Avec D = V, où (V, T , P) est un espace probabilisé, on obtient que
l’ensemble des variables aléatoires définies sur V est un ev.
1.2 Sous-espaces vectoriels
Définition. Soit E un ev. On dit que l’ensemble F est un sous-espace
vectoriel de E ssi F est un ev et F ⊂ E. Abrégé : F est un sev de E.
132
• 0 · u = 0 E , a · 0 E = 0 E , et a · u = 0 E ⇒ a = 0 ou u = 0 E .
Attention, quant A et B sont deux matrices carrées d’ordre n, le
produit AB peut être nul sans que A ou B ne le soit.
Exemples. Les espaces vectoriels de référence sont les suivants :
• L’ensemble R
2
= {(x, y) |x ∈ R, y ∈ R} est un ev pour les opérations :
(x, y) +
x
, y
=
x + x
, y + y
; a (x, y) = (ax, ay)
On définit de même les ev R
n pour n ∈ N (avec R
1
= R, R
0
= {0}).
• Avec n, p dans N ∗ , l’ensemble M n,p (R) des matrices réelles à n lignes
et p colonnes est un ev pour l’addition des matrices et la multiplication
d’une matrice par un nombre réel, voir § 4.2.2. Si E et F sont des ev,
l’ensemble L (E, F) des applications linéaires de E dans F est un ev, voir
§ 5.3.1.
• L’ensemble R [X] des polynômes réels et les ensembles R n [X] des
polynômes réels de degré n (n ∈ N) sont des espaces vectoriels pour
les opérations P + Q, aP, voir le § 6.2 de l’Introduction. On a d’ailleurs
les inclusions R 0 [X] ⊂ R 1 [X] ⊂ R 2 [X] ⊂ · · · ⊂ R [X].
• L’ensemble R
N des suites numériques est un ev pour les opérations :
(u n ) n∈N + (v n ) n∈N = (u n + v n ) n∈N ; a · (u n ) n∈N = (au n ) n∈N
• Plus généralement, D étant un ensemble non vide, l’ensemble R
D des
applications de D dans R est un ev pour les opérations
( f + g) (x) = f (x) + g (x) ; (a · f ) (x) = af (x)
avec f, g ∈ R
D ; a ∈ R ; x ∈ D.
Avec D = N, on a bien l’ev des suites numériques. On retient (avec
D = I) que l’ensemble des applications de l’intervalle réel non vide
I dans R est un ev.
Avec D = V, où (V, T , P) est un espace probabilisé, on obtient que
l’ensemble des variables aléatoires définies sur V est un ev.
1.2 Sous-espaces vectoriels
Définition. Soit E un ev. On dit que l’ensemble F est un sous-espace
vectoriel de E ssi F est un ev et F ⊂ E. Abrégé : F est un sev de E.
132