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Espaces vectoriels
applications linéaires
1. Espaces vectoriels, sous-espaces vectoriels
1.1 Espaces vectoriels
Définition. Un espace vectoriel sur R (ev) est un ensemble E contenant au moins un élément, noté 0 E , ou simplement 0, muni d’une addition :
u ∈ E, v ∈ E, u + v ∈ E,
et d’une multiplication par les réels :
u ∈ E, a ∈ R, a · u ∈ E,
avec les propriétés suivantes : ∀u, v ∈ E ; ∀a, b ∈ R,
• u + (v + w) = (u + v) + w ;
• u + v = v + u ;
• u + 0 E = 0 E + u = u ;
• u + (−u) = (−u) + u = 0 E en notant −u = (−1) · u ;
• (a + b) · u = a · u + b · u ;
• a · (u + v) = a · u + a · v ;
• a · (b · u) = (ab) · u ;
• 1 · u = u.
• Ces propriétés ne nécessitent aucun effort particulier de mémorisation et s’utilisent naturellement. La difficulté est le niveau d’abstraction inhabituel. Un vecteur est un élément d’un espace vectoriel : on sait additionner deux vecteurs, multiplier un vecteur par un
nombre réel, avec toutes les « bonnes » propriétés. On peut bien sûr
penser à l’ensemble des vecteurs du plan.
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