Partie 2 – Algèbre linéaire
• Si X, X ∈ Ker (f ), alors f
X + X = f (X) + f
X
car f est linéaire,
donc f
X + X = O, donc X + X ∈ Ker (f ).
• Si X ∈ Ker (f ) et a ∈ R, alors f (aX) = af (X) car f est linéaire, donc
f (aX) = O, donc aX ∈ Ker (f ).
L’image de f est l’ensemble f
M n,1 (R)
. On le note Im (f ) :
Im (f ) = {Y ∈ M n,1 (R) ; ∃X ∈ M n,1 (R) , f (X) = Y }
Im (f ) est un sous-espace vectoriel de M n,1 (R)
En effet, O = f (O) ∈ Im (f ), et si Y, Y ∈ Im (f ) et a ∈ R, alors, d’après
la linéarité de f :
Y + Y
= f (X) + f
X
= f
X + X
∈ Im (f ) ;
aY = af (X) = f (aX) ∈ Im (f ) .
Soit X =
n
i=1
x i E i un élément quelconque de M n,1 (R), (E i ) 1in base
canonique de M n,1 (R)). On a alors
Y ∈ Im (f ) ⇔ Y = f (X) ⇔ Y =
n
i=1
x i f (E i )
Im (f ) est donc l’ensemble des combinaisons linéaires des vecteurs
f (E i ). On a donc Im (f ) = Vect (f (E 1 ) , . . . , f (E n )), mais attention,
(f (E 1 ) , . . . , f (E n )) n’est pas nécessairement une base de Im (f ).
Avec l’exemple du § 4.1.3, on a :
• A 2 =
−2
1
1
1 −2
1
1
1 −2
; Ker (f 2 ) = S 2 = Vect
1
1
1
.
Im (f 2 ) = Vect (F 1 , F 2 , F 3 ) avec F 1 , F 2 , F 3 les trois vecteurs colonnes
de A 2 . Pour Y ∈ Im (f 2 ), on a Y = y 1 F 1 +y 2 F 2 +y 3 F 3 , mais on a aussi
Y = (y 1 + 1) F 1 + (y 2 + 1) F 2 + (y 3 + 1) F 3 , car F 1 + F 2 + F 3 = O.
Y est combinaison linéaire de F 1 , F 2 , F 3 , mais pas de façon unique.
Pour obtenir une base de Im (f 2 ), on remarque que
Y = y 1 F 1 + y 2 F 2 + y 3 (−F 1 − F 2 ) = (y 1 − y 2 ) F 1 + (y 2 − y 3 ) F 3 ;
Y = z 1 F 1 +z 2 F 2 : tout Y est combinaison linéaire de F 1 et F 2 , et ceci
de façon unique, comme on le vérifie sans peine. Ceci montre que
(F 1 , F 2 ) est une base de Im (f 2 ). On verra au chapitre 5 des méthodes
moins acrobatiques pour déterminer une base d’un espace vectoriel
ou d’un sous-espace vectoriel.
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