Chapitre 4 – Systèmes linéaires Calcul matriciel
• A −1 =
1 1 1
1 1 1
1 1 1
. ; Ker (f −1 ) = S −1 = Vect
−1
1
0
,
−1
0
1
;
Im (f −1 ) = Vect (G 1 , G 1 , G 1 ), avec G 1 =
1
1
1
. De façon évidente,
(G 1 , G 1 , G 1 ) n’est pas une base de Im (f −1 ), et (G 1 ) en est une.
• Dans les autres cas ( l /
∈ {−1 ; 2}), Ker (f l ) = {O}. Pour Im (f ) :
le système homogène (1) admet une solution unique (la solution O).
Or on a vu que cette propriété (le système est de Cramer) dépendait
uniquement des pivots du système, et pas des seconds membres (voir
§ 4.1.3). Cela veut dire que pour tout (a, b, g) ∈ R
3 , le système
−lx + y + z = a
x − ly + z = b
x + y − lz = g
admet une solution unique, ou encore que la matrice A l est inversible, ou encore que, pour tout Y =
a
b
g
, il existe X =
x
y
z
unique tel que f l (X) = Y , c’est-à-dire que f l est une bijection de
M 3,1 (R) sur M 3,1 (R). Par conséquent, Im (f l ) = M 3,1 (R).
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