Chapitre 4 – Systèmes linéaires Calcul matriciel
dans cette base coïncident avec les coefficients de ce vecteur :
x
y
z
= x
1
0
0
+ y
0
1
0
+ z
0
0
1
= xE 1 + yE 2 + zE 3
3.2 Applications linéaires
Définition
Une application f : M n,1 (R) → M n,1 (R) est dite linéaire ssi :
∀X, Y ∈ M n,1 (R) , f (X + Y ) = f (X) + f (Y ) ;
∀X ∈ M n,1 (R) , ∀a ∈ R, f (aX) = af (X) .
Avec A ∈ M n (R), l’application
M n,1 (R) → M n,1 (R) ; X → AX
est linéaire (évident d’après les règles de calcul sur les matrices), et on
vérifie facilement que pour tout j ∈ {1, . . . , n}, la j-ème colonne de
la matrice A est égale à f
E j
, où (E 1 , . . . , E n ) est la base canonique
de M n,1 (R).
Réciproquement, on a :
Soit f : M n,1 (R) → M n,1 (R) linéaire. Alors il existe une unique
matrice carrée A ∈ M n,1 (R) telle que
∀X ∈ M n,1 (R) , f (X) = AX
La matrice A est la matrice dont les colonnes successives sont
les images f (E 1 ) , . . . , f (E n ) des vecteurs de la base canonique de
M n,1 (R) .
Noyau, image d’une application linéaire
Soit f : M n,1 (R) → M n,1 (R) , X → AX une application linéaire.
Le noyau de f est l’ensemble noté Ker (f ) des X appartenant à M n,1 (R)
tels que f (X) = O.
Ker (f ) est un sous-espace vectoriel de M n,1 (R)
En effet, Ker (f ) est l’ensemble des solutions du système homogène
AX = O. On peut aussi le prouver directement :
• O ∈ Ker (f ), car f (O) = O ;
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