Partie 2 – Algèbre linéaire
Voyons ceci sur l’exemple du § 1.3. On rappelle les résultats obtenus :
(1)
−lx + y + z = 0
x − ly + z = 0
x + y − lz = 0
.
Avec S l l’ensemble des solutions du système (1), on a :
S 2 = {z (1, 1, 1) ; z ∈ R} ;
S −1 = {y (−1, 1, 0) + z (−1, 0, 1) ; y, z ∈ R} .
Dans les autres cas, S l = {(0, 0, 0)} .
• S 2 est l’ensemble des combinaisons linéaires d’un seul vecteur fixé,
le vecteur X 1 , avec X 1 =
1
1
1
. On dit que S 2 est le sousespace vectoriel de M 3,1 (R) engendré par (X 1 ). On note
S 2 = Vect (X 1 ). La famille (X 1 ) est une base de S 2 : tout élément
de S 2 est combinaison linéaire des éléments de la base (ici, un seul
élément) de façon unique.
• S −1 est l’ensemble des combinaisons linéaires de deux vecteurs X 2 et
X 3 fixés, avec X 2 =
−1
1
0
et X 3 =
−1
0
1
.
S −1 est le sous-espace vectoriel de M 3,1 (R) engendré par (X 2 , X 3 ).
On note S −1 = Vect (X 2 , X 3 ).
(X 2 , X 3 ) est une base de S −1 : tout élément de S −1 est combinaison
linéaire des deux éléments de la base de façon unique (on vérifie
facilement que xX 2 + yX 3 = x X 2 + y X 3 ⇒ x = x , y = y).
• Si l /
∈ {−1, 2}, S l = {O} est un sous-espace vectoriel de M 3,1 (R),
mais il n’a pas de base.
Les vecteurs E 1 =
1
0
0
, E 2 =
0
1
0
, E 3 =
0
0
1
constituent
une base de M 3,1 (R): tout vecteur
x
y
z
de M 3,1 (R) est combinaison
linéaire des vecteurs E 1 , E 2 , E 3 de façon unique. Cette base est appelée
base canonique de M 3,1 (R), car les coordonnées du vecteur
x
y
z
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