Chapitre 4 – Systèmes linéaires Calcul matriciel
Par récurrence on a X n = A
n X 0 . A
n
= (5I 2 + J)
n , avec
J =
1 −1
1 −1
,
J
k
= O 2 pour tout k 2. La formule du binôme fournit
A
n
= 5
n−1
5 + n −n
n
5 − n
,
puis
u n = 5
n−1 ((5 + n) u 0 − nv 0 )
v n = 5
n−1 (nu 0 + (5 − n) v 0 )
3. Un exemple d’espace vectoriel
3.1 Sous-espaces vectoriels, bases
M n,p (R) est un espace vectoriel, voir § 2.2. On étudie ici comme première approche les espaces vectoriels M n,1 (R). On peut noter un élément de R
n sous forme d’une matrice colonne appartenant à M n,1 (R).
On appellera « vecteur » un tel élément.
Soit le système homogène (3) étudié au § 1.3 :
(3)
a 1,1 x + a 1,2 y + a 1,3 z = 0
a 2,1 x + a 2,2 y + a 2,3 z = 0
a 3,1 x + a 3,2 y + a 3,3 z = 0
Ce système s’écrit sous forme matricielle AX = O, avec
A =
a 1,1 a 1,2 a 1,3
a 2,1 a 2,2 a 2,3
a 3,1 a 3,2 a 3,3
, X =
x
y
z
, O =
0
0
0
L’ensemble S des solutions de (3) vérifie les propriétés :
• O ∈ S ;
• si X, Y ∈ S, alors X + Y ∈ S ;
• si X ∈ S et a ∈ R, alors aX ∈ S.
On dit alors que S est un sous-espace vectoriel de M 3,1 (R).
Si S n’est pas réduit au vecteur nul O (ni étendu à M 3,1 (R)), on peut
exprimer tout élément de S comme combinaison linéaire de p éléments
fixés (appartenant à S), avec p = 1 ou p = 2.
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