Partie 2 – Algèbre linéaire
• Soit à calculer A
n , avec n ∈ N ∗ , et A =
1 1 1
0 1 1
0 0 1
.
On décompose
A = I 3 + N, avec N =
0 1 1
0 0 1
0 0 0
. N
2
=
0 0 1
0 0 0
0 0 0
, N
3
= O 3 ,
donc pour tout k 3, N
k
= N
3 N
k−3
= O 3 . La formule du binôme,
applicable car I 3 et N commutent, fournit alors
A
n
= (I 3 + O 3 )
n
=
n
k=0
n
k
I 3
n−k N
k
=
n
0
N
0 +
n
1
N
1 +
n
2
N
2
car les autres termes du développement sont nuls. Finalement :
A
n
=
⎛
⎝
1 n
n(n+1)
2
0 1
n
0 0
1
⎞
⎠ .
On vérifie que ça marche avec n = 1. La formule est valable aussi
avec n = 0.
Remarque. Une matrice N telle que N
k
= O n pour quelque k est une
matrice nilpotente. Une matrice triangulaire dont tous les éléments de la
diagonale sont nuls est toujours une matrice nilpotente.
Application à l’étude de suites
Soit X n =
u n
v n
w n
, avec n ∈ N. On suppose qu’il existe A ∈ M 3 (R)
telle que ∀n ∈ N, X n+1 = AX n . On montre alors, par récurrence :
∀n ∈ N, X n = A
n X 0 . Et le calcul de A
n permet alors de déterminer
l’expression de u n , v n , w n pour tout n ∈ N. (On a aussi, par récurrence :
X n = A
n−1 X 1 si les suites sont définies sur N ∗ .)
u n+1 = 6u n − v n
v n+1 = u n + 4v n
⇔ X n+1 = AX n avec
A =
6 −1
1
4
, X n =
u n
v n
.
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