Chapitre 4 – Systèmes linéaires Calcul matriciel
Formule du binôme pour les matrices carrées
On démontre classiquement par récurrence :
Soit A, B deux matrices de M n (R) telles que AB = BA (on dit alors
que A et B commutent). Alors, pour tout n ∈ N ∗ :
(A + B)
n
=
n
k=0
n
k
A
n−k B
k
=
n
k=0
n
k
A
k B
n−k
N’oubliez pas de mentionner – et de vérifier − que les matrices
commutent quand vous appliquez cette formule.
Cette formule est souvent utilisée avec une des deux matrices égale à
kI n , k ∈ R, qui commute avec toute matrice de M n (R).
• Soit à calculer A
n , avec n ∈ N ∗ , et A =
2 1 1
1 2 1
1 1 2
. On a calculé
ci-dessus B
n , avec B = A − I 3 , on a trouvé B
n
= 3
n−1 B pour n 1.
A = B + I 3 , donc A
n
= (B + I 3 )
n . B et I 3 commutent, donc d’après
la formule du binôme :
A
n
=
n
k=0
n
k
B
k I 3
n−k
=
n
0
B
0 I 3
n +
n
k=1
n
k
B
k I 3
n−k
(B
k
= 3
k−1 B est valable à partir de k = 1, il faut traiter à part k = 0.)
A
n
= I 3 +
n
k=1
n
k
3
k−1 B = I 3 +
3
−1
n
k=1
n
k
3
k
B
(Mise en facteur de B et de 3 −1 . La somme est maintenant une
somme de réels.)
A
n
= I 3 +
1
3
n
k=0
n
k
1
n−k 3
k
− 1
B = I 3 +
1
3
[(3 + 1)
n
− 1] B
(On ajoute le terme manquant à la somme, de façon à pouvoir utiliser
la formule du binôme pour les nombres réels, puis on le retire. Puis
on utilise la formule du binôme.) On trouve finalement
A
n
= I 3 +
1
3
(4
n
− 1) B
On vérifie la formule avec n = 1. La formule est valable aussi avec
n = 0.
123