Partie 2 – Algèbre linéaire
Mais attention, (AB)
n n’est pas égal en général à A
n B
n , car la multiplication des matrices n’est pas commutative.
Pour une matrice diagonale D =
l 1 0 0
0 l 2 0
0 0 l 3
, on a, si n ∈ N ∗ :
D
n
=
l
n
1
0 0
0 l
n
2
0
0 0 l
n
3
. Il n’y a pas de formule simple dès que la matrice
n’est plus diagonale.
Pour calculer la puissance n-ème d’une matrice, on utilise souvent des
propriétés de récurrence.
• La matrice B =
1 1 1
1 1 1
1 1 1
vérifie B
2
= 3B. On en déduit alors
par récurrence : ∀n ∈ N ∗ , B
n
= 3
n−1 B.
Attention, la formule n’est pas valable pour n = 0. D’une manière
générale, le calcul de A
0 demande une attention particulière.
• La matrice A =
1 1 1
1 0 0
1 0 0
vérifie A
3
= A
2 + 2A. On montre
alors, par récurrence : ∀n ∈ N ∗ , A
n
= a n A + b n A
2 : la propriété est
vraie pour n = 1, avec a 1 = 1, b 1 = 0, et si A
n
= a n A + b n A
2 , alors
A
n+1
= A
n A = · · · = a n+1 A + b n+1 A
2 ,
avec
a n+1 = 2b n , b n+1 = a n + b n ,
d’où la conclusion.
Il reste à déterminer l’expression de a n et b n en fonction de n. Cela
peut se faire à l’aide d’une suite linéaire récurrente à deux termes ; en
effet on a, pour tout n ∈ N ∗ :
a n+2 = 2b n+1 = 2a n + 2b n = a n+1 + 2a n
Compte tenu de a 1 = 1, b 1 = 0, a 2 = 0, b 2 = 1, on trouve finalement
a n =
−
2
3
(−1)
n +
1
6
2
n , puis b n =
1
3
(−1)
n +
1
6
2
n
.
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