Chapitre 4 – Systèmes linéaires Calcul matriciel
Avec A =
2 1
1 1
dans M 2 (R):
A
x
y
=
b 1
b 2
⇔
2x + y = b 1
x + y = b 2
⇔
x = b 1 − b 2
y = −b 1 + 2b 2
⇔
x
y
=
1 −1
−1
2
b 1
b 2
,
donc A est inversible, et A −1 =
1 −1
−1
2
.
Matrices triangulaires inversibles
Dans le cas d’un système triangulaire, on obtient (très important) :
Une matrice triangulaire est inversible ssi tous les éléments de sa
diagonale sont non nuls.
N’écrivez jamais : cette matrice n’a pas de zéros sur la diagonale,
elle est donc inversible. Utilisez uniquement cette propriété pour les
matrices triangulaires, et précisez-le. La matrice
0 0 1
1 0 0
0 1 0
est
inversible, avec uniquement des zéros sur la diagonale.
La matrice diagonale D =
l 1 0 0
0 l 2 0
0 0 l 3
est inversible ssi tous les l i
sont non nuls, et on a alors D −1 =
⎛
⎝
1
l1
0 0
0
1
l2
0
0 0
1
l3
⎞
⎠ (évident).
2.4 Puissance n-ème d’une matrice carrée
Définition. Pour A ∈ M n (R) et n ∈ N ∗ , on définit A
n
= A . . . A (n
facteurs). Si A = O n , on pose A
0
= I n .
On a les règles de calcul :
A
m A
n
= A
m+n ; (A
m )
n
= A
mn
.
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