Partie 2 – Algèbre linéaire
• En cas de « succès » (la matrice est inversible), vérifiez votre résultat
en multipliant la matrice obtenue par la matrice de départ (on doit
trouver la matrice unité). En cas d’erreur, le codage des opérations
élémentaires devrait vous aider, il est donc capital d’y porter la plus
grande attention.
• L’algorithme du pivot donne lieu à des calculs mécaniques, mais
assez lourds, et ne devrait être utilisé qu’en dernier recours, si on
n’a aucun renseignement sur la matrice étudiée (voir le théorème
ci-dessus), et si l’énoncé ne suggère pas une autre méthode.
Application aux équations matricielles
Soit l’équation matricielle AX = B, avec A ∈ M n (R).
Si A est inversible, AX = B ⇔ X = A
−1 B.
En effet, AX = B ⇔ A
−1 (AX) = A
−1 B, et
A −1 A
X = I n X = X.
X et B peuvent être deux matrices de M n (R), ou deux matrices
colonnes (voir ci-dessous)
Applications aux systèmes linéaires
Toujours pour fixer les idées, considérons le système linéaire à 3 inconnues :
(1)
a 1,1 x + a 1,2 y + a 1,3 z = b 1
a 2,1 x + a 2,2 y + a 2,3 z = b 2
a 3,1 x + a 3,2 y + a 3,3 z = b 3
Ce système peut s’écrire AX = Y ,
avec A =
a i,j
1i,j3
, X =
x
y
z
, Y =
b 1
b 2
b 3
. Par conséquent :
Le système (1) est de Cramer (admet une solution unique) ssi la
matrice A =
a i,j
1i,j3
est inversible, et on a alors X = A −1 Y .
On déduit de ceci une autre manière de déterminer si une matrice A
donnée est inversible, et calculer le cas échéant son inverse : il suffit de
résoudre le système (1). Si le système admet une solution unique (x, y, z),
on a alors
x
y
z
= A −1
b 1
b 2
b 3
. Sinon, A n’est pas inversible.
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