Chapitre 4 – Systèmes linéaires Calcul matriciel
Explication. Soit A =
a i,j
1i,j3
(on se place dans M 3 (R) pour fixer
les idées). D’après le théorème précédent, A est inversible ssi pour chacun
des trois systèmes suivants il y a une solution unique :
a 1,1 x + a 1,2 y + a 1,3 z = 1
a 2,1 x + a 2,2 y + a 2,3 z = 0
a 3,1 x + a 3,2 y + a 3,3 z = 0
, resp.
0
1
0
, resp.
0
0
1
On utilise la méthode du pivot, en omettant les inconnues, et en écrivant
donc uniquement la matrice A, puis la matrice unité pour les seconds
membres. Voyons ceci sur un exemple :
A =
1
1 −1
−1
1
1
1 −1
1
1 0 0
0 1 0
0 0 1
L 2 ← L 2 + L 1
L 3 ← L 3 − L 1
1
1 −1
0
2
0
0 −2
2
1 0 0
1 1 0
−1 0 1
L 1 ← 2L 1 − L 2
L 3 ← L 3 + L 2
L’opération élémentaire L 3 ← L 3 + L 2 permet d’obtenir 3 pivots non
nuls ; il y a donc unicité de la solution pour chacun des trois membres,
la matrice A est donc inversible. En vue d’obtenir A −1 , il vaut mieux
effectuer simultanément L 1 ← 2L 1 − L 2 .
2 0 −2
0 2
0
0 0
2
1 −1 0
1
1 0
0
1 1
L 1 ← L 1 + L 3
2 0 0
0 2 0
0 0 2
1 0 1
1 1 0
0 1 1
Les solutions des trois systèmes sont en évidence, elles forment la
matrice de droite multipliée par
1
2 . On écrit
1 0 0
0 1 0
0 0 1
A
−1
=
1
2
1 0 1
1 1 0
0 1 1
• Dans l’expression ci-dessus, gardez le 1/2 « en facteur ». Cela évite
de trop nombreuses fractions et facilite les calculs ultérieurs.
• Vous adopterez la disposition pratique mise en évidence cidessus, en signalant que vous utilisez l’algorithme du pivot. Les
opérations élémentaires sur la matrice A suffisent si on demande
uniquement de déterminer si la matrice est inversible.
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