Partie 2 – Algèbre linéaire
2.3 Matrices carrées inversibles
Définition. Soit A ∈ M n (R). On dit que A est inversible ssi il existe
une matrice notée A −1 appartenant à M n (R) telle que
AA
−1
= A
−1 A = I n .
La matrice A −1 est la matrice inverse de la matrice A.
Si A, B sont inversibles, alors AB et A −1 sont inversibles, et
(AB)
−1
= B
−1 A
−1 ;
A
−1
−1 = A.
Théorème. Soient A, B deux matrices de M n (R) telles que AB = I n .
Alors A est inversible et A −1 = B, B est inversible et B −1 = A.
Théorème admis (il n’est pas évident que AB = I n implique BA = I n ).
Exemple d’utilisation de ce théorème. Soit A une matrice carrée
telle que A
2
− 5A + 6I n = O n . Alors
A
2
− 5A = −6I n ; −
1
6
A
2
− 5A
= I n ; A
−
1
6
(A − 5I n )
= I n
Donc A est inversible, et A −1 = −
1
6
(A − 5I n ).
Remarque. Si A, B vérifient l’égalité AB = O n , la matrice A ne sera en
général pas inversible.
Soit A telle que A
2
− 3A = O n . Alors A (A − 3I n ) = O n . Supposons A
inversible ; alors, en multipliant l’égalité précédente par A −1 , on obtient
A = 3I n . Réciproquement, la matrice 3I n est inversible. Dans tous les
autres cas, une matrice vérifiant A
2
− 3A = O n n’est pas inversible.
Algorithme du pivot pour la recherche de A −1
La matrice A est : inversible ssi on obtient par opérations élémentaires sur les lignes de A une matrice triangulaire sans zéros sur la diagonale ; non inversible ssi on obtient une matrice triangulaire avec
un zéro sur la diagonale.
Si A est inversible, on effectue les mêmes opérations sur les matrices
A et I n , jusqu’à obtenir I n et A −1 :
A
I n
. . . . . . . . . . . .
I n
A −1
opérations élémentaires
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