Chapitre 4 – Systèmes linéaires Calcul matriciel
Produit de deux matrices : propriétés. Avec A, B, C matrices et
x nombre réel, et chaque fois que toutes les opérations ont un sens :
A (BC) = (AB) C
A (B + C) = AB + AC
(A + B) C = AC + BC
x (AB) = (xA) B = A (xB)
On peut traduire cette dernière propriété en disant : pour multiplier
un produit de matrices par un nombre réel, on multiplie une des
matrices par ce nombre.
Attention, le produit BA peut ne pas exister alors que le produit
AB existe. Ou bien ils peuvent être dans des ensembles M n,p (R)
différents. On bien, étant dans le même ensemble, ils peuvent ne pas
être égaux.
Deux cas particuliers importants :
Produit de deux matrices carrées
Soit A, B, C trois matrices de M n (R), x un nombre réel. Alors :
• AB ∈ M n (R) ; BA ∈ M n (R)
• A (BC) = (AB) C ;
• A (B + C) = AB + AC ; (A + B) C = AC + BC ;
• x (AB) = (xA) B = A (xB) ;
• I n A = AI n = A ;
• en général, AB = BA ;
• on ne peut pas « simplifier » :
AB = AC n’implique pas B = C, même si A = O n .
Produit d’une matrice carrée et d’une matrice-colonne
Soit A, B deux matrices de M n (R) ; X, Y deux matrices de M n,1 (R) ;
x un nombre réel. Alors
• AX ∈ M n,1 (R) ;
• I n X = X ;
• A (X + Y ) = AX + AY ; (A + B) X = AX + BX ;
• A (xX) = (xA) X = x (AX).
117