Partie 2 – Algèbre linéaire
La somme des matrices A, B est définie par
A + B =
a i,j + b i,j
1in
1jp
Le produit de la matrice A par le réel x est défini par
xA =
xa i,j
1in
1jp
Quand le nombre de colonnes de A est égal au nombre de lignes
de B, on définit le produit des deux matrices A, B (dans cet ordre)
comme étant la matrice AB obtenue en effectuant les produits ligne par
colonne : le produit de la i-ème ligne de A par la j-ème colonne de B
donne le terme situé eni-ème et j-ème colonne de AB.
Exemple :
a b c
d e f
u x
v y
w z
=
au + bv + cw ax + by + cz
du + ev + fw dx + ey + fz
Somme, produit par un réel : propriétés. Pour A, B, C appartenant à M n,p (R), x, y appartenant à R :
A + B ∈ M n,p (R) ; xA ∈ M n,p (R)
A + (B + C) = (A + B) + C
A + B = B + A
A + O n,p = O n,p + A = A
A + (−A) = (−A) + A = O n,p en notant −A la matrice (−1) A
(x + y) A = xA + yA
x (A + B) = xA + xB
x (yA) = (xy) A
1A = A
Toutes ces propriétés sont des conséquences directes des propriétés
connues de l’addition et de la multiplication des nombres réels. On
les résume en disant que M n,p (R) est un espace vectoriel sur R.
De même que pour le nombres réels, on définit la différence de deux
matrices par A − B = A + (−B).
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