Chapitre 4 – Systèmes linéaires Calcul matriciel
Une matrice diagonale D est une
matrice carrée dont tous les termes en
dehors de la diagonale sont nuls.
D =
a 1,1 0
0
0 a 2,2 0
0
0 a 3,3
Une matrice triangulaire supérieure
est une matrice carrée T S dont tous les
termes sous la diagonale sont nuls.
T S =
× × ×
0 × ×
0 0 ×
Une matrice triangulaire inférieure
est une matrice carrée T I dont tous les
termes au dessus de la diagonale sont
nuls.
T I =
× 0 0
× × 0
× × ×
Une matrice triangulaire est une matrice triangulaire supérieure ou
inférieure.
Une matrice symétrique est une matrice carrée
a i,j
1i,jn
telle que,
pour tout i, j appartenant à {1, . . . , n} : a j,i = a i,j .
S =
1 2 3
2 4 5
3 5 6
est une matrice symétrique.
La symétrie doit s’entendre « par rapport à la diagonale ».
La transposée de la matrice M =
a i,j
1i,jn
est la matrice
t M, définie
par
t M =
b i,j
1i,jn
; ∀i, j ∈ {1, . . . , n} , b i,j = a j,i
Avec M =
1 2 3
4 5 6
7 8 9
,
t M =
1 4 7
2 5 8
3 6 9
.
Une matrice est symétrique ssi elle est égale à sa transposée.
La matrice unité de M n (R) est la matrice I n carrée d’ordre n, diagonale, et dont les termes de la diagonale sont tous égaux à 1 :
I 3 =
1 0 0
0 1 0
0 0 1
2.2 Opérations sur les matrices
Définitions. Soit A =
a i,j
1in
1jp
, B =
b i,j
1in
1jp
deux matrices appartenant à M n,p (R), et x un nombre réel.
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