Chapitre 4 – Systèmes linéaires Calcul matriciel
– Si l = 2 : (4) ⇔
x − 2y + z = 0
3y − 3z = 0
⇔
x − 2y = −z
y = z
x = z
y = z
Donc (x, y, z) solution ⇔ (x, y, z) = (z, z, z) = z (1, 1, 1).
Dans les cas où S l n’est pas réduit à la solution nulle, on a bien obtenu
les solutions comme combinaisons linéaires de solutions fixes.
Deuxième possibilité : on effectue sur le système (5) l’opération
L 3 ← L 3 + L 2 : ⎧
⎨
⎩
x −
ly +
z = 0
1 − l
2
y + (1 + l) z = 0
2 + l − l
2
y
= 0
On obtient un système qui n’est pas triangulaire, mais échelonné, avec
une équation à une, à deux, à trois inconnues. On peut commencer la
discussion : si 2 + l − l
2
= 0 ⇔ l /
∈ {−1, 2}, alors y = 0, puis z = 0,
puis x = 0. Si l = −1, le système se réduit à l’équation x + y + z = 0,
etc.
Troisième possibilité : dans le système (5), on permute la place des
inconnues y, z : ⎧
⎨
⎩
x +
z −
ly = 0
− (l + 1) z + (1 + l) y = 0
(1 + l) z +
1 − l
2
y = 0
puis on effectue l’opération élémentaire L 3 ← L 3 + L 1 pour obtenir un
système triangulaire, que l’on résout comme précédemment.
• Afin d’alléger l’écriture et les calculs, on peut adopter une notation
simplifiée pour les systèmes homogènes : on ne garde que les coefficients des inconnues que l’on écrit dans une matrice (voir § suivant),
le reste (emplacement des inconnues, seconds membres) étant sans
changement d’étape en étape. Pour le système étudié en exemple on
écrira donc : −l 1 1
1 −l 1
1 1 −l
L 1 ↔ L 2
1 −l 1
−l 1 1
1 1 −l
L 2 ← L 2 + lL 1
L 3 ← L 3 − L 1
1 −l
1
0 1 − l
2
1 + l
0 1 + l − (l + 1)
etc. Les opérations indiquées se font sur les lignes des matrices.
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