Partie 2 – Algèbre linéaire
On doit déterminer l’ensemble des solutions en discutant suivant la
valeur de l ∈ R.
Étude détaillée d’un exemple.
(4)
⎧
⎨
⎩
−lx + y + z = 0
x − ly + z = 0
L 1 ↔ L 2
x + y − lz = 0
On ne peut pas prendre −l comme premier pivot, car on serait amené
aux opérations élémentaires L 2 ← lL 2 + L 1 ; L 3 ← lL 3 + L 1 et l’équivalence est perdue si l = 0. Une discussion prématurée est à proscrire.
L’opération L 1 ↔ L 2 permet de prendre 1 pour pivot :
⎧
⎨
⎩
1x − ly + z = 0
−lx + y + z = 0
L 2 ← L 2 + lL 1
x + y − lz = 0
L 3 ← L 3 − L 1
(5)
⎧
⎨
⎩
x −
ly +
z = 0
1 − l
2
y + (1 + l) z = 0
(1 + l) y − (l + 1) z = 0
De même, on ne peut pas prendre 1 − l
2 comme pivot. On a alors le
choix entre trois possibilités :
Première possibilité : on effectue sur le système (5) l’opération élémentaire L 2 ↔ L 3 :
⎧
⎨
⎩
x −
ly +
z = 0
(1 + l) y − (l + 1) z = 0
1 − l
2
y + (1 + l) z = 0
Puis on effectue L 3 ← L 3 − (1 − l) L 2 :
⎧
⎨
⎩
x −
ly +
z = 0
(1 + l) y −
(l + 1) z = 0
(1 + l) (2 − l) z = 0
On a obtenu un système triangulaire, et on peut commencer la discussion. Soit S l l’ensemble des solutions.
– Si l /
∈ {−1, 2}, le système est de Cramer, donc S l = {(0, 0, 0)}.
– Si l = −1 : (3) ⇔ x + y + z = 0 ⇔ x = −y − z.
Donc
(x, y, z) ∈ S −1 ⇔ (x, y, z) = (−y − z, y, z)
= y (−1, 1, 0) + z (−1, 0, 1) .
Donc S −1 = {y (−1, 1, 0) + z (−1, 0, 1) ; y, z ∈ R} .
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