Chapitre 4 – Systèmes linéaires Calcul matriciel
1.3 Systèmes de Cramer, systèmes homogènes
Définitions. Un système linéaire est dit de Cramer ssi il admet une
solution unique.
Un système linéaire est dit homogène ssi les seconds membres des équations qui le composent sont tous égaux à 0 :
(3)
⎧
⎨
⎩
a 1,1 x + a 1,2 y + a 1,3 z = 0
a 2,1 x + a 2,2 y + a 2,3 z = 0
a 3,1 x + a 3,2 y + a 3,3 z = 0
Propriétés.
• Un système triangulaire (2) admet une solution unique ssi ses coefficients diagonaux sont nuls. La méthode du pivot montre alors :
Un système est de Cramer ssi tous ses pivots sont non nuls.
On remarque que cette propriété ne dépend pas des seconds membres
des équations du système.
• Propriétés des systèmes homogènes :
– Le système (3) admet toujours la solution (0, 0, 0).
– Soient u = (x, y, z) et u =
x , y , z
solutions du système (3), et
a, b deux nombres réels.
Alors la somme :
u + u
=
x + x
, y + y
, z + z
,
Le produit de u par le nombre réel a :
au = (ax, ay, az) ,
Et plus généralement les combinaisons linéaires de u, u :
au + bu
=
ax + bx
, ay + by
, az + bz
,
sont solutions du système (3).
Réciproquement, quand un système homogène admet des solutions
non nulles, on exprimera celles-ci comme des combinaisons linéaires
de solutions fixées. Voir l’application fondamentale.
Une application fondamentale.
• La recherche de valeurs propres et vecteurs propres d’une matrice ou
d’un endomorphisme (voir chap 5 et 6) conduit à la résolution de
systèmes du type
⎧
⎨
⎩
a 1,1 x + a 1,2 y + a 1,3 z = lx
a 2,1 x + a 2,2 y + a 2,3 z = ly
a 3,1 x + a 3,2 y + a 3,3 z = lz
⇔
⎧
⎨
⎩
a 1,1 − l
x + a 1,2 y + a 1,3 z = 0
a 2,1 x +
a 2,2 − l
y + a 2,3 z = 0
a 3,1 x + a 3,2 y +
a 3,3 − l
z = 0
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1.3 Systèmes de Cramer, systèmes homogènes
Définitions. Un système linéaire est dit de Cramer ssi il admet une
solution unique.
Un système linéaire est dit homogène ssi les seconds membres des équations qui le composent sont tous égaux à 0 :
(3)
⎧
⎨
⎩
a 1,1 x + a 1,2 y + a 1,3 z = 0
a 2,1 x + a 2,2 y + a 2,3 z = 0
a 3,1 x + a 3,2 y + a 3,3 z = 0
Propriétés.
• Un système triangulaire (2) admet une solution unique ssi ses coefficients diagonaux sont nuls. La méthode du pivot montre alors :
Un système est de Cramer ssi tous ses pivots sont non nuls.
On remarque que cette propriété ne dépend pas des seconds membres
des équations du système.
• Propriétés des systèmes homogènes :
– Le système (3) admet toujours la solution (0, 0, 0).
– Soient u = (x, y, z) et u =
x , y , z
solutions du système (3), et
a, b deux nombres réels.
Alors la somme :
u + u
=
x + x
, y + y
, z + z
,
Le produit de u par le nombre réel a :
au = (ax, ay, az) ,
Et plus généralement les combinaisons linéaires de u, u :
au + bu
=
ax + bx
, ay + by
, az + bz
,
sont solutions du système (3).
Réciproquement, quand un système homogène admet des solutions
non nulles, on exprimera celles-ci comme des combinaisons linéaires
de solutions fixées. Voir l’application fondamentale.
Une application fondamentale.
• La recherche de valeurs propres et vecteurs propres d’une matrice ou
d’un endomorphisme (voir chap 5 et 6) conduit à la résolution de
systèmes du type
⎧
⎨
⎩
a 1,1 x + a 1,2 y + a 1,3 z = lx
a 2,1 x + a 2,2 y + a 2,3 z = ly
a 3,1 x + a 3,2 y + a 3,3 z = lz
⇔
⎧
⎨
⎩
a 1,1 − l
x + a 1,2 y + a 1,3 z = 0
a 2,1 x +
a 2,2 − l
y + a 2,3 z = 0
a 3,1 x + a 3,2 y +
a 3,3 − l
z = 0
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