Partie 2 – Algèbre linéaire
1.2 Méthode du pivot
Pour fixer les idées, on s’intéresse au système (1) – trois équations, trois
inconnues. Les principes de la méthode du pivot sont les suivants :
• Les systèmes les plus faciles à résoudre sont les systèmes triangulaires, ou diagonaux, c’est-à-dire de la forme
(2)
⎧
⎨
⎩
a 1,1 x + a 1,2 y + a 1,3 z = b 1
a 2,2 y + a 2,3 z = b 2
a 3,3 z = b 3
2
⎧
⎨
⎩
a 1,1 x
= b 1
a 2,2 y
= b 2
a 3,3 z = b 3
• Il est toujours possible d’obtenir un système triangulaire (2) équivalent au système de départ (1) en effectuant les opérations élémentaires sur les lignes :
L i ↔ L j : échange de la ligne L i et de la ligne L j .
L i ← aL i + bL j : on remplace la ligne L i par aL i + bL j .
b peut être nul, mais ATTENTION ! a doit être non nul !
• Les coefficients diagonaux a 1,1 , a 2,2 , a 3,3 du système triangulaire
obtenu (2) sont appelés pivots du système (1). On résout ce système de proche en proche.
Exemple :
⎧
⎨
⎩
2x 1 − 4x 2 + x 3 = 5
x 1 + x 2 + x 3 = 2
L 2 ← 2L 2 − L 1
−x 1 + 4x 2 − x 3 = −2
L 3 ← 2L 3 + L 1
2 est le premier pivot. On élimine l’inconnue du pivot des autres équations en effectuant L i ← 2L i + bL 1 .
⎧
⎨
⎩
2x 1 − 4x 2 + x 3 = 5
6x 2 + x 3 = −1
4x 2 − x 3 = 1
L 3 ← 3L 3 − 2L 2
6 deuxième pivot. L 3 ← 3L 3 − 2L 2 préférable à L 3 ← 6l 3 − 4L 2 .
⎧
⎨
⎩
2x 1 − 4x 2 + x 3 = 5
6x 2 + x 3 = −1
− 5x 3 = 5
On a obtenu un système triangulaire. −5 est le dernier pivot. On trouve
x 3 = −1, puis x 2 = 0, puis x 1 = 3.
L’ensemble des solutions est {(3, 0, −1)}.
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1.2 Méthode du pivot
Pour fixer les idées, on s’intéresse au système (1) – trois équations, trois
inconnues. Les principes de la méthode du pivot sont les suivants :
• Les systèmes les plus faciles à résoudre sont les systèmes triangulaires, ou diagonaux, c’est-à-dire de la forme
(2)
⎧
⎨
⎩
a 1,1 x + a 1,2 y + a 1,3 z = b 1
a 2,2 y + a 2,3 z = b 2
a 3,3 z = b 3
2
⎧
⎨
⎩
a 1,1 x
= b 1
a 2,2 y
= b 2
a 3,3 z = b 3
• Il est toujours possible d’obtenir un système triangulaire (2) équivalent au système de départ (1) en effectuant les opérations élémentaires sur les lignes :
L i ↔ L j : échange de la ligne L i et de la ligne L j .
L i ← aL i + bL j : on remplace la ligne L i par aL i + bL j .
b peut être nul, mais ATTENTION ! a doit être non nul !
• Les coefficients diagonaux a 1,1 , a 2,2 , a 3,3 du système triangulaire
obtenu (2) sont appelés pivots du système (1). On résout ce système de proche en proche.
Exemple :
⎧
⎨
⎩
2x 1 − 4x 2 + x 3 = 5
x 1 + x 2 + x 3 = 2
L 2 ← 2L 2 − L 1
−x 1 + 4x 2 − x 3 = −2
L 3 ← 2L 3 + L 1
2 est le premier pivot. On élimine l’inconnue du pivot des autres équations en effectuant L i ← 2L i + bL 1 .
⎧
⎨
⎩
2x 1 − 4x 2 + x 3 = 5
6x 2 + x 3 = −1
4x 2 − x 3 = 1
L 3 ← 3L 3 − 2L 2
6 deuxième pivot. L 3 ← 3L 3 − 2L 2 préférable à L 3 ← 6l 3 − 4L 2 .
⎧
⎨
⎩
2x 1 − 4x 2 + x 3 = 5
6x 2 + x 3 = −1
− 5x 3 = 5
On a obtenu un système triangulaire. −5 est le dernier pivot. On trouve
x 3 = −1, puis x 2 = 0, puis x 1 = 3.
L’ensemble des solutions est {(3, 0, −1)}.
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