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Systèmes linéaires
Calcul matriciel
1. Systèmes linéaires
1.1 Généralités
Définitions. Un système d’équations linéaires est un système d’équations du type
(1)
⎧
⎨
⎩
a 1,1 x + a 1,2 y + a 1,3 z = b 1 L 1
a 2,1 x + a 2,2 y + a 2,3 z = b 2 L 2
a 3,1 x + a 3,2 y + a 3,3 z = b 3 L 3
Ici il s’agit d’un système de 3 équations L 1 , L 2 , L 3 , à 3 inconnues, les
inconnues x, y, z appartenant à R.
Résoudre le système (1), c’est déterminer l’ensemble de ses solutions S,
c’est-à-dire l’ensemble des valeurs de (x, y, z) tels que les trois égalités
L 1 , L 2 , L 3 soient simultanément vraies. S est une partie de R
3 , éventuellement vide.
Deux systèmes sont équivalents ssi ils ont même ensemble de solutions.
Remarque. On peut toujours se ramener au cas où le nombre d’équations est égal au nombre d’inconnues. Par exemple :
⎧
⎨
⎩
a 1,1 x + a 1,2 y = b 1 L 1
a 2,1 x + a 2,2 y = b 2 L 2
a 3,1 x + a 3,2 y = b 3 L 3
On résout le système formé par
L 1 , L 2 , puis on reporte dans L 3 .
a 1,1 x + a 1,2 y + a 1,3 z = b 1
a 2,1 x + a 2,2 y + a 2,3 z = b 2
On résout
a 1,1 x + a 1,2 y = b 1 − a 1,3 z
a 2,1 x + a 2,2 y = b 2 − a 2,3 z
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