Techniques de base
• Soit A, B, C des sous-ensembles de l’ensemble de référence E. On
notera les règles de calculs :
A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)
A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)
A ∪ B = A ∩ B ; A ∩ B = A ∪ B
A ∪ ∅ = A ; A ∩ ∅ = ∅ ; A ∪ E = E ; A ∩ E = A
Règles de calcul qui se généralisent, par exemple :
B ∪
i∈I
A i
=
i∈I
(B ∪ A i )
• Remarquez que
A ⊂ B ⇔ A ∪ B = B ⇔ A ∩ B = A
1.2 Fonctions et applications
Définitions
• Une fonction f est définie par la donnée d’un ensemble de départ
E, d’un ensemble d’arrivée F, et d’une relation qui à un élément de E
associe au plus un élément de F. Notation :
f : E → F, x → y = f (x)
• Si on a y = f (x), on dit que y est l’image de x par f , et que x est un
antécédent de y par f .
• Une application de E dans F est une fonction de E dans F telle que
chaque élément de E admette une image. On note alors f (E) l’ensemble
{f (x) ; x ∈ E}.
• Soit f : E → F et g : F → G deux applications. La composée g ◦ f
est l’application g ◦ f : E → G, x → g ◦ f (x) = g (f (x)).
• On dit qu’une application f : E → F est :
− une injection, ou que f est injective, ssi tout élément de F admet
au plus un antécédent : f (x) = f
x ⇒ x = x .
− une surjection, ou que f est surjective ssi tout élément de F admet
au moins un antécédent : pour tout y ∈ F, il existe x ∈ E tel que
y = f (x).
− une bijection, ou que f est bijective ssi tout élément de F admet
exactement un antécédent dans E : pour tout y ∈ F, il existe x ∈ E,
x unique, tel que y = f (x). On parle alors de bijection de E sur F.
3