Introduction
Exemple important
Soit E un ensemble (non vide). L’application
Id E : E → E, x → Id E (x) = x
est appelée l’application identité de E. (C’est d’ailleurs une bijection.)
Propriétés
Proposition 1. Une application est bijective ssi elle est injective et
surjective.
Proposition 2. Soit f une bijection de E sur F. L’application, notée
f −1 de F dans E qui à tout élément y de F associe l’unique élément x
de E tel que f (x) = y est une bijection de F sur E, appelée bijection
réciproque de f :
f
−1 : F → E, y → f
−1 (y) = x tel que f (x) = y
Proposition 3. Une application f de E dans F est bijective ssi il
existe une application g de F dans E, telle que f ◦ g = Id F et
g ◦ f = Id E .
On a alors g = f −1 .
• Il faut bien comprendre que l’ensemble de départ et d’arrivée sont
essentiels dans la définition de l’application ou de la fonction f . Ainsi,
les applications
f 1 : R → R, x → x
2 ; f 2 : R → R
+ , x → x
2 ;
f 3 : R
+
→ R
+ , x → x
2
sont différentes. f 1 n’est ni injective ni surjective (les nombres négatifs
n’ont pas d’antécédent par f 1 , les nombres positifs en ont deux), f 2
est surjective mais pas injective, f 3 est bijective.
• La proposition 2 est essentielle, elle permet de définir de « nouvelles »
fonctions.
– La bijection réciproque de f 3 est la fonction racine carrée.
– Le logarithme néperien est une bijection de R
+∗ sur R. Sa bijection
réciproque est la fonction exponentielle. La proposition 3 donne alors:
Pour tout réel positif x, e
ln x
= x ; pour tout réel y, ln (e y ) = y.
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