Introduction
R : l’ensemble des nombres réels.
R
+ : l’ensemble des nombres réels positifs ou nuls.
On définit de même R ∗ , R
+∗ , R − . . .
A, B, E étant des ensembles, on définit :
Relation d’inclusion. On note A ⊂ E (lire « A est inclus dans E »,
ou « A est une partie de E », ou « A est un sous-ensemble de E ») si et
seulement si tout élément de A est élément de E.
On note aussi E ⊃ A (« E contient A »).
• Pour tout ensemble E, on a l’inclusion ∅ ⊂ E.
• N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R.
Réunion de deux ensembles. On note A ∪ B (lire « A union B »)
l’ensemble ainsi défini :
A ∪ B = {x | x ∈ A ou x ∈ B}
Intersection de deux ensembles. On note A ∩ B (lire « A inter B »)
l’ensemble ainsi défini :
A ∩ B = {x | x ∈ A et x ∈ B}
Généralisation : avec I un ensemble d’indices :
i∈I
A i = {x ; il existe i ∈ I tel que x ∈ A i }
i∈I
A i = {x ; pour tout i ∈ I, x ∈ A i }
Complémentaire d’un ensemble dans un ensemble. Soit A ⊂ E.
Le complémentaire de A dans E est l’ensemble des éléments de E qui
n’appartiennent pas à A. On le note E \ A, ou, s’il n’y a pas d’ambiguïté
sur l’ensemble E de référence, A (lire « A barre »).
Produit cartésien de deux ensembles. Le produit cartésien A × B est
l’ensembles des couples (a ; b) avec a ∈ A et b ∈ B :
A × B = {(a ; b) | a ∈ A et b ∈ B}
On définit de même les produits cartésiens A × B × C,. . . , et A
n :
A
n
= {(a 1 ; · · · ; a n ) | a 1 ∈ A ; · · · ; a n ∈ A}
A
n est l’ensemble des suites à n éléments de A, ou ensemble des n-listes
d’éléments de A (n ∈ N ∗ ).
Ensemble des parties de E. On note P (E) l’ensemble de toutes les
parties de E :
P (E) = {A ; A ⊂ E}
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