Introduction
Techniques de base
1. Ensembles, applications
1.1 Vocabulaire de la théorie des ensembles
x ∈ E : « x est élément de E », ou « x appartient à E ».
On ne cherche pas à définir les notions primitives d’élément, d’appartenance,
d’ensemble.
On peut distinguer deux façons de définir un ensemble :
• Par extension : on donne la liste des éléments de l’ensemble. On notera
en particulier, avec n ∈ N :
0, n = {0 ; . . . ; n}
• Par compréhension : on donne une propriété caractéristique P des éléments de l’ensemble. L’élément x appartient à l’ensemble E si, et seulement si, il vérifie la propriété P, ce que l’on note P (x). Par exemple, a, b
étant deux réels :
[a, b] = {x | x ∈ R ; a x b}
Ici la propriété P (x) est : « x ∈ R et a x b ».
On rencontre des variantes de notation :
[a, b] = {x ∈ R | a x b} = {x ∈ R ; a x b} . . .
Certains ensembles ont des notations réservées :
∅ : l’ensemble vide (il ne contient aucun élément).
N : l’ensemble des entiers naturels. N = {0 ; 1 ; 2 ; . . .}.
N ∗ : l’ensemble des entiers naturels non nuls.
Z : l’ensemble des entiers relatifs.
Q : l’ensemble des nombres rationnels.
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