3. Géométrie
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Branches infinies – Définitions
Si lim
θ→±∞
ρ = 0, on dit que O est un point-asymptote de la courbe.
Si lim
θ→±∞
ρ = a, on dit que le cercle de centre O et de rayon |a| est un
cercle-asymptote à la courbe.
Si lim
θ→±∞
ρ = ±∞, on dit que la courbe admet une branche-spirale.
Si la branche infinie forme un angle θ 0 par rapport à l’axe des abscisses,
pour savoir s’il s’agit d’une asymptote ou d’une direction asymptotique, on étudie la limite :
Y = lim
θ→θ 0
ρ sin(θ − θ 0 )
Si cette limite vaut +∞, il s’agit d’une direction asymptotique, si la
limite vaut 0, il s’agit d’une asymptote, si la limite vaut b avec b ∈ R,
la droite d’équation y = θ 0 x + b est asymptote à la courbe.
Symétries
Soit T la période de ρ (c’est-à-dire ρ(θ + T) = ρ(θ)). S’il existe T ′ tel
que ρ(θ + T ′ ) = −ρ(θ), T ′ est appelé antipériode de ρ.
ρ(−θ) = ρ(θ)
Symétrie par rapport à l’axe des
abscisses. On fait varier θ dans
[0; +∞[ avant d’effectuer la symétrie.
ρ(α − θ) = ρ(α)
On fait varier θ dans
α
2
; +∞
puis on effectue la symétrie par
rapport à la droite passant par O
et d’angle polaire α/2.
ρ(−θ) = −ρ(θ)
Symétrie par rapport à l’axe des
ordonnées. On fait varier θ dans
[0; +∞[ avant d’effectuer la symétrie.
ρ(α − θ) = −ρ(α)
On fait varier θ dans
α
2
; +∞
puis on effectue la symétrie par
rapport à la droite passant par O
et d’angle polaire
α
2
+
π
2
.
c
Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.