3. Géométrie
59
Théorème de Schwarz
∂ 2 f
∂x j ∂x i
=
∂ 2 f
∂x i ∂x j
f : fonction C 2 sur R p .
Point critique
Soit U un ouvert de R 2 , a ∈ U et f : U → R une fonction de classe C n .
On dira que a est un point critique pour f si et seulement si toutes les
dérivées partielles de f existent et s’annulent en a.
Extremum local
On dira que f : U → R 2 admet un extremum local sur X ⊂ U en un
point a ∈ X si et seulement si ∀x ∈ X, f (x) f (a) ( f admettant alors
un maximum en a) ou ∀x ∈ X, f (x) f (a) ( f admettant alors un
minimum en a).
Théorème des fonctions implicites
Soient x = (x 1 , x 2 ) ∈ U, où U est un ouvert de R 2 , f : U → R une
fonction de classe C k sur U telle que f (x) = 0 et
∂ f
∂x 2
(x) = 0, alors il
existe deux intervalles ouverts J et K respectivement centrés en x 1 et x 2
tels qu’il existe une unique fonction de classe C 1 , ϕ : J → K telle que :
∀(x, y) ∈ J × K, ( f (x, y) = 0 ⇐⇒ y = ϕ(x))
3. Géométrie
3.1 Courbes du plan
Point régulier – Point birégulier
Un point M(t) est dit régulier si et seulement s’il vérifie f ′ (t) = 0 ; il
est dit birégulier si et seulement si la famille ( f ′ (t), f ′′ (t)) est libre.
c
Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.