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[1] Mathématiques
2.13 Fonctions de plusieurs variables
Dérivée partielle
D j f (a) =
∂ f
∂x j
(a) = lim
t→0
t =0
f (a 1 , . . . , a j + t, . . . , a n ) − f (a 1 , . . . , a n )
t
f : une fonction de plusieurs variables.
On définit ci-dessus la dérivée partielle par rapport à la variable x j (sa
j e variable) de la fonction f en un point a = (a 1 , . . . , a n ).
Dérivée selon un vecteur
On dit que f admet une dérivée en a selon un vecteur v que l’on note
d v f (a) si et seulement si la limite suivante existe :
lim
t→0
1
t
( f (a + tv) − f (a))
Si elle existe, cette limite est d v f (a).
Théorème fondamental
Soit U un ouvert de R p , si f : U → R n est de classe C 1 sur R p , alors
f admet en tout point a de R p , une dérivée selon tout vecteur h et
D h f (a) =
p
∑
j=1
h j D j f (a).
Gradient
grad f =
∂ f
∂x
(x, y),
∂ f
∂y
(x, y)
f : U → R : fonction de classe C 1
sur U
U : ouvert de R 2
grad f : gradient de f
Alors : D v f (a) = (grad f (a)) · v
Différentielle d’une fonction de deux variables
d f =
∂ f
∂x
dx +
∂ f
∂y
dy
f : U → R : fonction de classe C 1
sur U
U : ouvert de R 2
Applications de classe C k
On dit que f est de classe C k , avec k ∈ N ∗ sur U si et seulement si f
admet des dérivées partielles successives sur U jusqu’à l’ordre k et ce,
quel que soit l’ordre de dérivation, et chacune de ces dérivées partielles
est continue sur U.