2. Analyse
57
2.12 Séries de Fourier
Coefficients de Fourier exponentiels
c n ( f ) =
1
2π
2π
0
f (x)e
−inx dx
c n : coefficient de Fourier exponentiel
f : fonction 2π-périodique continue par morceaux à valeurs complexes
n ∈ Z
Coefficients de Fourier trigonométriques
a n ( f ) =
1
π
2π
0
f (x) cos(nx) dx
b n ( f ) =
1
π
2π
0
f (x) sin(nx) dx
a n : coefficient de Fourier trigonométrique en cosinus
b n : coefficient de Fourier trigonométrique en sinus
f : fonction dont on souhaite obtenir les coefficients de Fourier
Lorsque la fonction f est paire
(respectivement impaire), les coefficients b n (respectivements a n )
sont nuls.
Théorème de Dirichlet
Si f est de classe C 1 par morceaux et 2π-périodique, pour tout réel x,
on a l’égalité suivante :
S(x) =
+∞
∑
n=−∞
c n e
inx =
a 0
2
+
+∞
∑
n=1
a n cos nx +
+∞
∑
n=1
b n sin nx
S(x) =
1
2
f (x
− ) + f (x
+ )
Dans ce cas, il y a convergence simple de la série vers S(x).
Égalité de Parseval
Si f est continue par morceaux, on a l’égalité suivante :
1
2π
2π
0
| f (x)|
2 dx =
|a 0 | 2
4
+
+∞
∑
n=1
|a n | 2 + |b n | 2
2
=
+∞
∑
n=−∞
|c n |
2
Convergence normale
Si f est continue et de classe C 1 par morceaux sur R, la série de Fourier
de f est normalement convergente sur R et a pour somme f .
c
Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.