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[1] Mathématiques
Convergence uniforme et intégration sur un segment
+∞
∑
n=0
f n est continue sur [a, b]
∑
n0
b
a
f n (x) dx
converge dans E
b
a
+∞
∑
n=0
f n (x)
dx =
+∞
∑
n=0
b
a
f n (x) dx
( f n ) n∈N : série d’applications avec
f n continue sur [a, b]
+∞
∑
n=0
f n converge uniformément sur
[a, b]
Sous ces hypothèses, la série de
fonctions vérifie les propriétés cicontre.
Convergence uniforme et dérivation
∑
n0
f n converge uniformément
sur tout segment I
+∞
∑
n=0
f n est de classe C
1 sur I
+∞
∑
n=0
f n
′
=
+∞
∑
n=0
f
′
n
∑
n0
f n : série d’applications
convergeant simplement sur I
f n : I → E de classe C 1
∑
n0
f
′
n converge uniformément sur
tout segment de I.
Sous ces hypothèses, f n et f ′
n vérifient les propriétés ci-contre.
Intégration sur un intervalle quelconque des fonctions
+∞
∑
n=0
f n est intégrable sur I
I
+∞
∑
n=0
f n
+∞
∑
n=
I
| f n |
I
+∞
∑
n=0
f n =
+∞
∑
n=0
I
f n
∑
n0
( f n ) : série d’applications
convergeant simplement sur I
f n : I → E : fonction continue par
morceaux sur I
∑
n0
I
| f n | converge
Sous ces hypothèses, f n vérifie les
propriétés ci-contre.