2. Analyse
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Séries d’applications : convergence simple – Définition
On dit qu’une série d’applications converge simplement si et
seulement si la suite des sommes partielles (S n (x)) n∈N , avec
S n (x) =
n
∑
k=0
f k (x), converge simplement.
Séries d’applications : convergence absolue – Définition
On dit qu’une série d’applications converge absolument si et
seulement si la suite des sommes partielles (S n (x)) n∈N , avec
S n (x) =
n
∑
k=0
f k (x), converge absolument.
Séries d’applications : convergence uniforme – Définition
On dit qu’une série d’applications converge uniformément si et seulement si la suite des sommes partielles (S n (x)) n∈N , avec S n (x) =
n
∑
k=0
f k (x), converge uniformément.
Séries d’applications : convergence normale – Définition
∃n 0 ∈ N :
∑
nn 0
f n ∞ converge
On dit que ∑
n
f n converge normalement et seulement si elle vérifie
la propriété ci-contre.
Convergences normale, uniforme et simple
La convergence normale entraîne la convergence uniforme qui ellemême entraîne la convergence simple.
Convergence uniforme – Limite et continuité
Si ∑
n0
f n converge uniformément sur X et si ∀n ∈ N, f n est continue en
a (respectivement admet une limite en a), alors ∑
n0
f n est continue en
a (respectivement admet une limite en a).
c
Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.