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[1] Mathématiques
Théorème de convergence monotone
I
f = Sup n∈N
I
f n = lim
n→+∞
I
f n
∀n ∈ N, f n est continue par morceaux et intégrable sur I.
( f n ) n∈N vérifie une hypothèse de
monotonie : ∀n ∈ N, f n f n+1 .
( f n ) n∈N converge simplement sur
I vers une application notée f
continue par morceaux sur I.
Sous ces hypothèses, f est intégrable si et seulement si la suite
I
f n
n∈N
et vérifie alors les propriétés ci-contre.
Théorème de convergence dominée
I
f = lim
n→+∞
I
f n
∀n ∈ N, f n est continue par morceaux sur I.
( f n ) n∈N converge simplement sur
I vers une application notée f
continue par morceaux sur I.
( f n ) n∈N vérifie une hypothèse de
domination : ∀n ∈ N, | f n |
ϕ où ϕ est une fonction continue par morceaux positive et intégrable sur I.
Sous ces hypothèses, f vérifie la
propriété ci-contre.
Premier théorème de Weierstrass
Pour toute application continue f : [a; b] → K, il existe une suite (P n :
[a; b] → K) n∈N de polynômes convergeant uniformément vers f sur
[a; b].
Deuxième théorème de Weierstrass
Pour toute application continue f : R → K et T-périodique, il existe
une suite (T n : [a; b] → K) n∈N de polynômes trigonométriques convergeant uniformément vers f sur R.