2. Analyse
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Propriété de la convergence uniforme
Si les fonctions f n sont continues (respectivement admettent une limite en a), alors la limite uniforme (si elle existe) de ces fonctions f est
continue (respectivement admet une limite en a).
Convergence uniforme et intégration sur un segment
f est continue sur [a, b]
b
a
f n
n∈N
converge dans E
b
a
f = lim
n→+∞
b
a
f n
( f n : X → E) n∈N : suite d’applications continues convergeant uniformément vers f sur X.
E : un K-espace vectoriel normé
f : limite de la suite d’applications
Sous ces hypothèses, f vérifie les
propriétés énoncées ci-contre.
Convergence uniforme et dérivation
( f n ) n∈N converge uniformément
sur tout segment de I vers f
f est de classe C 1 sur I
f ′ = g
( f n : X → E) n∈N : suite d’applications C 1 convergeant simplement
vers f sur X
( f ′
n ) n∈N : converge uniformément
vers une application notée g
Sous ces hypothèses, f vérifie les
propriétés énoncées ci-contre.
Soit ( f n : X → E) n∈N une suite d’applications C 1 surX convergeant
simplement vers f sur X.
Soit ( f ′
n ) n∈N une suite de fonctions qui converge uniformément sur
tout segment de X vers une application g.
Soit f la limite de la suite d’applications vérifiant les hypothèses précédentes. Sous ces hypothèses, on a f de classe C 1 sur X et f ′ = g.
c
Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.