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[1] Mathématiques
Développement en série entière d’une fonction
Une fonction f : R → R est dite développable en série entière autour
d’un point x 0 ∈ R si et s’il existe une série entière ∑
n0
a n x
n de rayon de
convergence R > 0 telle que :
∀x ∈]x 0 − R; x 0 + R[, f (x) =
+∞
∑
n=0
a n (x − x 0 )
n
Le développement en série entière est unique.
Développement en série entière d’une fraction rationnelle
Une fraction rationnelle R est développable en série entière autour de
0 si et seulement si 0 n’est pas un pôle de cette fraction rationnelle. Le
rayon de convergence du développement en série entière est alors égal
au plus petit module des pôles complexes de la fraction rationnelle.
2.11 Suites et séries d’applications
Convergence simple – Définition
∀ε > 0, ∀x ∈ D, ∃n 0 ∈ N, ∀n n 0 :
| f n (x) − f (x)| ε
( f n : X → E) n∈N : suite d’applications
E : un K-espace vectoriel normé
f : limite de la suite d’applications
dans D (domaine de convergence)
D : domaine de convergence
Convergence uniforme – Définition
∀ε > 0, ∃n 0 ∈ N, ∀x ∈ D, ∀n n 0 :
| f n (x) − f (x)| ε
( f n : X → E) n∈N : suite d’applications
E : un K-espace vectoriel normé
f : limite de la suite d’applications
dans D (domaine de convergence)
Convergence uniforme et convergence simple
Si ( f n ) n∈N converge uniformément vers f sur X , il y a également
convergence simple de ( f n ) n∈N vers f dans ce même domaine.
[1] Mathématiques
Développement en série entière d’une fonction
Une fonction f : R → R est dite développable en série entière autour
d’un point x 0 ∈ R si et s’il existe une série entière ∑
n0
a n x
n de rayon de
convergence R > 0 telle que :
∀x ∈]x 0 − R; x 0 + R[, f (x) =
+∞
∑
n=0
a n (x − x 0 )
n
Le développement en série entière est unique.
Développement en série entière d’une fraction rationnelle
Une fraction rationnelle R est développable en série entière autour de
0 si et seulement si 0 n’est pas un pôle de cette fraction rationnelle. Le
rayon de convergence du développement en série entière est alors égal
au plus petit module des pôles complexes de la fraction rationnelle.
2.11 Suites et séries d’applications
Convergence simple – Définition
∀ε > 0, ∀x ∈ D, ∃n 0 ∈ N, ∀n n 0 :
| f n (x) − f (x)| ε
( f n : X → E) n∈N : suite d’applications
E : un K-espace vectoriel normé
f : limite de la suite d’applications
dans D (domaine de convergence)
D : domaine de convergence
Convergence uniforme – Définition
∀ε > 0, ∃n 0 ∈ N, ∀x ∈ D, ∀n n 0 :
| f n (x) − f (x)| ε
( f n : X → E) n∈N : suite d’applications
E : un K-espace vectoriel normé
f : limite de la suite d’applications
dans D (domaine de convergence)
Convergence uniforme et convergence simple
Si ( f n ) n∈N converge uniformément vers f sur X , il y a également
convergence simple de ( f n ) n∈N vers f dans ce même domaine.