2. Analyse
51
2.10 Séries entières
Série entière
S(z) =
+∞
∑
n=0
a n z
n
S(z) : somme de la série entière
a n : coefficient de la série entière
z : variable de la série entière
Rayon de convergence – Définition
I = {r ∈ R + /
+∞
∑
n=0
|a n |r
n converge}
La borne supérieure de l’intervalle
I dans R est appelée rayon de
convergence de la série ∑ a n z n , on
le note R = Sup I.
Série entière somme
Soient deux séries entières ∑
n0
a n z
n et ∑
n0
b n z
n , on appelle série entière
somme la série ∑
n0
(a n + b n )z
n .
Soit R a et R b les deux rayons de convergence respectifs de ces deux
séries, on a R a+b min(R a , R b ) (avec égalité si R a = R b ).
Lemme d’Abel
Soit r 0 > 0, si la suite (|a n |r n
0 ) n∈N est majorée, alors ∀r ∈ [0, r 0 [ la série
∑ |a n |r n est convergente.
Dérivation d’une série entière
S
′ (x) =
+∞
∑
n=0
(n + 1)a n+1 x
n
S : série de terme général a n x n
S ′ : dérivée de la série S
La série dérivée a le même rayon
de convergence que la série à dériver.
Intégration d’une série entière
x
0
+∞
∑
n=0
a n z
n
dz =
+∞
∑
n=0
a n
n + 1
x
n+1
La série des intégrales a le même
rayon de convergence que la série
intégrée.
c
Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.