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[1] Mathématiques
Formule de Stirling
n! ∼
n
e
n √
2πn
n ∈ N
La formule de Stirling fournit un
équivalent simple de n! en +∞.
Convergence absolue – Semi convergence
Une série est dite absolument convergente si et seulement si la série
de terme général |u n | converge.
Une série alternée est dite semi-convergente si et seulement la série
de terme général u n converge alors que celle de terme général |u n | diverge.
Séries doubles – Interversion des sommations
Soit une suite double d’éléments de K : (u p,q ) (p,q)∈N 2 que l’on suppose
sommable (c’est-à-dire ∃M ∈ R + /∀J ⊂ N ∑
p∈J
q∈J
u pq M), alors :
1. ∀q ∈ N, ∑
p0
u p,q est convergente et la série ∑
q0
+∞
∑
p=0
u p,q
est convergente.
2. ∀p ∈ N, ∑
q0
u p,q est convergente et la série ∑
p0
+∞
∑
q=0
u p,q
est
convergente.
3. ∑
(p,q)∈N 2
u p,q =
+∞
∑
p=0
+∞
∑
q=0
u p,q
=
+∞
∑
q=0
+∞
∑
p=0
u p,q
.
Produit de Cauchy
w n =
n
∑
k=0
u k · v n−k (1)
+∞
∑
n=0
w n =
+∞
∑
n=0
u n
+∞
∑
n=0
v n
(2)
On appelle produit de Cauchy des
deux séries de terme général u n et
v n la série dont le terme général
vérifie (1).
Si les deux séries de terme général
u n et v n sont absolument convergentes, alors la série w n est elle
aussi absolument convergente et
vérifie (2).