2. Analyse
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Règle de d’Alembert
Soit une série de terme général u n telle que
u n+1
u n
−−−−→
n→+∞
β :
– Si β < 1 la série de terme général u n converge ;
– Si β > 1 la série de terme général u n diverge grossièrement ;
– Si β = 1 on ne peut rien dire de la nature de la série.
Règle de Cauchy
Soit une série de terme général u n réel positif telle que
n
√
u n −−−−→
n→+∞
β :
– Si β < 1 la série de terme général u n converge ;
– Si β > 1 la série de terme général u n diverge grossièrement ;
– Si β = 1 on ne peut rien dire de la nature de la série.
Séries de même nature
Soit ∑ u n et ∑ v n deux séries réelles à termes positifs telles que, au voisinage de +∞, v n 0, et u n ∼ v n . Alors, on a également u n 0 au voisinage de +∞ et les deux séries sont de même nature (elles convergent
ou divergent en même temps).
Série alternée
+∞
∑
n=p+1
u n
|u p+1 |
Une série de terme général u n
est dite alternée si et seulement
si la suite (−1) n u n est de signe
constant.
Une telle série converge si :
1. lim
n→+∞
u n = 0
2. la suite (|u n |) n∈N est décroissante.
Sous ces hypothèses, la série vérifie la relation ci-contre.
Critère de Cauchy
∀ε > 0, ∃N ∈ N, ∀(p, q) ∈ N
2 :
N p < q =⇒
q
∑
n=p+1
u n
ε
Le critère ci-contre est une condition nécessaire et suffisante de
convergence pour une série dans
un espace de Banach (K-espace
vectoriel normé complet).
c
Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.