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[1] Mathématiques
Série géométrique
S =
+∞
∑
n=0
u n =
1
1 − u 0
(1)
u 0 : terme général de la suite de
rang 0
u n : terme général de la suite,
u n = (u 0 )
n
Une condition nécessaire et suffisante de convergence d’une telle
série est |u 0 | < 1. Dans ce cas, la
série vérifie (1).
Série à termes positifs
Une série à termes positifs converge si et seulement sila suite des
sommes partielles est majorée.
Série de Riemann
∑
n1
1
n α (1)
Une série vérifiant (1) est dite de
Riemann. Une telle série converge
si et seulement si :
α > 1
Valeur remarquable :
+∞
∑
n=1
1
n 2 =
π 2
6
Série de Bertrand
+∞
∑
n=2
1
n α (ln n) β
On appelle série de Bertrand la série définie ci-contre.
Cette série converge si et seulement si :
α > 1
α = 1 et β > 1
Comparaison de deux séries à termes positifs
∀n ∈ N :
0 u n v n (1)
u n : terme général de la série S
v n : terme général de la série S ′
Si (1) est vérifiée et si S ′ converge,
alors S converge.
Remarque : Si S diverge et (1) est
vérifiée, la série S ′ diverge.