2. Analyse
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Système d’équations différentielles du premier ordre
Soit I un intervalle de R, B = (b i ) i∈[1;n] un vecteur de E et
A = (a i j ) i∈[1;n]
j∈[1;n]
: I → E une application continue. On appelle système
d’équations différentielles du premier ordre le système :
y ′
1 (t)
. . .
y ′
n (t)
=
a 11 (t) · · · a 1n (t)
. . .
. . .
a n1 (t) · · · a nn (t)
y 1 (t)
. . .
y n (t)
+
b 1 (t)
. . .
b n (t)
Résolution dans le cas où A est diagonalisable
Dans le cas où A ∈ M n (K), si A est diagonalisable, le système homogène admet une solution du type :
Y =
n
∑
i=1
c i e
λ i t V i
λ i : valeur propre de A
c i : constante liée aux conditions initiales
V i : colonne de la matrice de passage de A à la matrice diagonale associée.
2.9 Séries
Définition
S N =
N
∑
n=0
u n
On appelle série le couple
((u n ), (S n )).
S N : somme partielle d’ordre N
u n : terme général de la série
Condition nécessaire de convergence
Une condition nécessaire mais non suffisante de convergence d’une
série est que lim
n→+∞
u n = 0. Si le terme général de la série ne tend pas
vers zéro, la série est dite grossièrement divergente.
Changement d’indice de départ
Soit ∑
n0
u n une série de E et n 0 ∈ N, les séries ∑
n0
u n et ∑
nn 0
u n sont de
même nature.
c
Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
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Système d’équations différentielles du premier ordre
Soit I un intervalle de R, B = (b i ) i∈[1;n] un vecteur de E et
A = (a i j ) i∈[1;n]
j∈[1;n]
: I → E une application continue. On appelle système
d’équations différentielles du premier ordre le système :
y ′
1 (t)
. . .
y ′
n (t)
=
a 11 (t) · · · a 1n (t)
. . .
. . .
a n1 (t) · · · a nn (t)
y 1 (t)
. . .
y n (t)
+
b 1 (t)
. . .
b n (t)
Résolution dans le cas où A est diagonalisable
Dans le cas où A ∈ M n (K), si A est diagonalisable, le système homogène admet une solution du type :
Y =
n
∑
i=1
c i e
λ i t V i
λ i : valeur propre de A
c i : constante liée aux conditions initiales
V i : colonne de la matrice de passage de A à la matrice diagonale associée.
2.9 Séries
Définition
S N =
N
∑
n=0
u n
On appelle série le couple
((u n ), (S n )).
S N : somme partielle d’ordre N
u n : terme général de la série
Condition nécessaire de convergence
Une condition nécessaire mais non suffisante de convergence d’une
série est que lim
n→+∞
u n = 0. Si le terme général de la série ne tend pas
vers zéro, la série est dite grossièrement divergente.
Changement d’indice de départ
Soit ∑
n0
u n une série de E et n 0 ∈ N, les séries ∑
n0
u n et ∑
nn 0
u n sont de
même nature.
c
Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.