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[1] Mathématiques
Équation différentielle du second ordre à coefficients constants
y
′′ + βy
′ + γy = 0
(E c ) : r
2 + βr + γ
(β, γ) ∈ R 2 : coefficients de
l’équation différentielle
Soit (E c ) l’équation caractéristique
associée à l’équation différentielle.
Si cette équation caractéristique
admet :
– deux racines distinctes r 1 et r 2 ,
les solutions de l’équation sont de
la forme λ 1 e r 1 x + λ 2 e r 2 x
– une racine double r, les solutions
sont de la forme (λx + µ)e rx
– deux racines complexes conjuguées r = a ± ib, les solutions sont
de la forme
(λ cos bx + µ sin bx)e ax
Équation du second ordre avec second membre e γx R(x)
y
′′ + βy
′ + γy = e
mx P(x)
(β, γ, m) ∈ K 3 : coefficients
constants de l’équation différentielle
P ∈ K[X]
L’équation différentielle admet
une solution de la forme e mx S(x)
avec S ∈ K[X] :
– deg S = deg P si m n’est pas racine de (E c )
– deg S = 1 + deg P si m est racine
simple de (E c )
– deg S = 2 + deg P si m est racine
double de (E c )
Résolution grâce aux séries entières
Lorsque les coefficients et le second membre de l’équation différentielle sont constitués par des polynômes, on peut chercher les solutions
sous la forme de séries entières, on obtient ainsi une relation de récurrence sur les coefficients. Une fois ces coefficients calculés, le rayon de
convergence déterminés et, si possible, la somme calculée, on a une
solution de l’équation différentielle.