2. Analyse
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Solution d’une équation différentielle linéaire du premier ordre
S = {λe
−A + Be
−A , λ ∈ K}
La solution ci-contre est la solution
de l’équation résolue avec α = 1
A : primitive de β
B : primitive de γe A
La solution de (E) est la somme de
la solution générale de l’équation
homogène associée à (E) et d’une
solution particulière de (E).
Méthode de résolution de E
1. Résolution de l’équation homogène associée, solution de la forme
λy 0 (x).
2. Réinjecter la solution trouvée dans l’équation complète avec la méthode de variation de la constante qui permet de trouver la fonction
qui vérifie l’équation complète.
Nature de la solution
L’ensemble des solutions d’une équation différentielle linéaire du premier ordre est une droite affine dont la direction est donnée par l’ensemble des solutions de l’équation homogène.
Théorème de Cauchy-Lipschitz
Soient U un ouvert de R × R, f : U → E une application localement
lipschitzienne par rapport à sa seconde variable et continue, un couple
(t 0 , y 0 ) ∈ U.
Sous ces conditions, il existe une unique solution maximale au problème de Cauchy, c’est-à-dire vérifiant :
y ′ = f (t, y)
y(t 0 ) = y 0
(problème de Cauchy)
Et possédant en plus les propriétés suivantes (solution maximale) :
– l’intervalle de définition est un ouvert,
– toute solution du problème de Cauchy est une restriction de cette
solution.
Équation différentielle du second ordre homogène
αy
′′ + βy
′ + γy = 0
α, β, γ : fonctions continues I → K
y : fonction de J ⊂ I dans K solution de cette équation
c
Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.