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[1] Mathématiques
Continuité d’une intégrale à paramètre
∀x ∈ A, F(x, ·) intégrable sur I
f : A → K est continue sur A
x →
I
F(x, t) dt
F : fonction continue sur A × I vérifiant l’hypothèse de domination :
Soient f , g : I → R continues.
Si
0 f g
g est intégrable sur I
, alors
f est intégrable sur I et
I
f
I
g
Sous ces hypothèses, F vérifie les
relations ci-contre.
Dérivation d’une intégrale à paramètre
∀x ∈ A
F(x, ·) et
∂F
∂x
(x, ·)intégrables sur I
f :
A → K est de classe C 1 sur A
x →
I
F(x, t) dt
∀x ∈ A, f ′ (x) =
I
∂F
∂x
(x, t) dt
F : fonction continue sur A × I vérifiant une hypothèse de domination sur A × I :
Soient F, g : I → R continues.
Si
0 F g
g est intégrable sur I
, alors
F est intégrable sur I et
I
F
I
g
∂F
∂x
existe et est continue sur A × I.
∂F
∂x
vérifie une hypothèse de domination sur A × I.
Sous ces hypothèses, on a les relations ci-contre.
2.8 Équations différentielles
Équations différentielles linéaires du premier ordre
αy
′ + βy = γ (E)
α, β, γ : I → K des applications
continues.
y est une solution de cette équation sur J ⊂ I si et seulement si y
est dérivable sur J et si ∀x ∈ J, y
vérifie (E).
Équation résolue
Une équation différentielle linéaire du premier ordre est dite normalisée ou résolue en y ′ si et seulement si α = 1.