2. Analyse
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– S’il existe α ∈] − ∞, 1] vérifiant lim
x→+∞
x
α f (x) = +∞ alors f n’est
pas intégrable sur [a, +∞[ avec a > 0.
Intégrabilité en 0 :
– S’il existe α ∈] − ∞, 1[ vérifiant lim
x→0
x
α f (x) = 0 alors f est intégrable
sur ]0, a] avec a > 0.
– S’il existe α ∈ [1, +∞[ vérifiant lim
x→0
x
α f (x) = +∞ alors f n’est pas
intégrable sur ]0, a] avec a > 0.
Relation de Chasles
c
a
f =
b
a
f +
c
b
f
f : une fonction continue par morceaux intégrable sur un intervalle
I contennant les intervalles ouverts :]a, b[, ]b, c[ et ]a, c[.
(a, b, c) ∈ R
3
Croissance de l’intégration
f g =⇒
I
f
I
g
f , g : deux fonctions continues et
intégrables sur I
Fonctions continues à valeurs complexes
Soit f : I → C une fonction continue. On dira que f est intégrable sur
I si et seulement si | f | l’est.
Intégrale impropre
(a, b) ∈ R × (R ∪ {+∞})
X
a
f
f : fonction continue par morceaux
sur [a, b[
On dit que cette intégrale impropre converge si et seulement si
elle admet une limite finie lorsque
X tend vers b. On note alors cette
intégrale
b
a
f .
Intégrale dépendant d’un paramètre – Définition
f (x) =
I
F(x, t) dt
x : paramètre
t : variable d’intégration
I : intervalle de R
c
Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.