42
[1] Mathématiques
Intégrabilité – Définition
J
f M
f : [a, b] → R : fonction positive
continue par morceaux.
f est dite intégrable sur [a, b] si et
seulement s’il existe un M ∈ R +
pour tout segment J inclus dans
[a, b], vérifiant l’inégalité ci-contre.
Intégrabilité sur un segment
Soit f une fonction positive continue par morceaux de I dans R. Les
propriétés suivantes sont deux à deux équivalentes :
(i) f est intégrable sur I.
(ii) Il existe M ∈ R + tel que, pour toute suite croissante de segments
(J n ) n∈N ∗ dont la réunion est égale à I : ∀n ∈ N
∗
J n
f M.
Théorème de domination
0 f g (1)
0
I
f
I
g (2)
Soient f et g deux fonctions continues par morceaux de I dans R vérifiant (1) et si g intégrable, alors f
est intégrable sur I et on a l’inégalité (2).
Exemple de Riemann
Fonctions de Riemann :
f (x) =
1
x α
Une fonction de Riemann est intégrable sur [1; +∞[ si et seulement
si α > 1.
Une fonction de Riemann est intégrable sur ]0; 1] si et seulement si
α < 1.
Théorème d’équivalence
Soient (a, b) ∈ R × R tels que a < b, f et g deux fonctions positives
continues par morceaux de [a, b[ dans R vérifiant en b : f ∼
b
g, alors f
est intégrable sur [a, b[ si et seulement si g l’est.
Règle x α f (x)
Intégrabilité en +∞ :
– S’il existe α ∈]1, +∞[ vérifiant lim
x→+∞
x
α f (x) = 0 alors f est intégrable sur [a, +∞[ avec a > 0.