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[1] Mathématiques
Inégalité de Taylor-Lagrange
f : [a, b] → (E, ) et f de classe C n sur [a, b], (n + 1) fois dérivable sur
]a, b[ et telle que ∀t ∈]a, b[, f
(n+1) (t) M alors :
f (b) −
n
∑
k=0
f (k) (a)
k!
(b − a)
k
M
(b − a) n+1
(n + 1)!
Reste intégral
f : [a, b] → (E, ) de classe C n+1 sur [a, b] alors :
f (b) =
n
∑
k=0
f (k) (a)
k!
(b − a)
k +
1
n!
b
a
(b − t)
n f
(n+1) (t) dt
Reste de Laplace
Formule de Taylor-Young
f : I → E, I un intervalle de R où f (n) (a) existe :
f (x) =
n
∑
k=0
f (k) (a)
k!
(x − a)
k + o
x→a
((x − a)
n )
Difféomorphisme – Définition
Soient f : I → J avec I, J deux intervalles de R, n ∈ N ∗ ∪ {+∞}, on dit
que f est un C k -difféomorphisme de I sur J si et seulement si :
– f est de classe C k sur I
– f est bijective
– f −1 est de classe C k sur J
Convexité – Définitions
Soit f : I → K, on dit que cette fonction est convexe si et seulement si :
∀θ ∈ [0, 1], ∀(x, y) ∈ I 2 , f (θx + (1 − θ)y) α f (x) + (1 − θ) f (y)
Inégalité de convexité
Si f est convexe, soit λ j 0 tel que
n
∑
j=1
λ j = 1, alors :
f
n
∑
j=1
λ j a j
n
∑
j=1
λ j f (a j ).
Fonction convexe – Fonction concave
Une fonction f est concave si et seulement si − f est convexe.