2. Analyse
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g(a) = 0,
1
g
′
(a) = −
g ′ (a)
g 2 (a)
g(a) = 0,
f
g
′
(a) =
f ′ (a)g(a) − f (a)g ′ (a)
g 2 (a)
(g ◦ f ) ′ (a) = g ′ ( f (a)) f ′ (a)
Dérivabilité d’une fonction sur un intervalle
f : I → K, où I est un intervalle est dite dérivable sur un intervalle
J ⊂ I si et seulement si : ∀a ∈ J, f est dérivable en a.
Formule de Leibniz
f : I → K et g : I → E on suppose que λ et f sont dérivables sur I :
Alors f · g est n fois dérivable sur I et ( f · g)
(n) =
n
∑
k=0
C
k
n f
(k) · g
(n−k)
Classe d’une fonction
Soient f : I → K et k ∈ N, on dit que f est de classe C k sur I si et
seulement si f est k fois dérivable sur I et f (k) est continue sur I.
Soient f : [a; b] → K avec a b et k ∈ N, on dit que f est de classe C k
par morceaux sur [a; b] si et seulement si :
– il existe une famille (a 0 , . . . , a p ) ∈ R p+1 telle que :
a = a 0 < a 1 < · · · < a p−1 < a p = b
– Chaque restriction de f sur ]a i ; a i+1 [ admet un prolongement de
classe C k sur [a i ; a i+1 ], ∀i ∈ [0; p − 1].
Théorème de Rolle
f : [a, b] → R continue sur [a, b] et dérivable sur ]a, b[, f (a) = f (b) ;
alors il existe c ∈]a, b[ tel que :
f
′ (c) = 0
Théorème des accroissements finis
f : [a, b] → R, avec (a, b) ∈ R 2 et a < b, continue sur [a, b] et dérivable
sur ]a, b[. Il existe c ∈]a, b[ :
f (b) − f (a) = (b − a) f
′ (c)
c
Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.