2. Analyse
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Si f n’est pas continue et ne présente pas de continuité de première
espèce en a, on dit que f admet une discontinuité de seconde espèce
en a.
Composition et continuité
Soient f : I → R et g : J → K où I et J sont deux intervalles de R tels
que f (I) ⊂ J, si f et g sont respectivement continues en a et f (a), alors
g ◦ f est continue en a.
Continuité sur un segment
Soient (a, b) ∈ R 2 tel que a b et une fonction f : [a, b] → R. Si f est
continue, alors f est bornée et atteint ses bornes.
Continuité uniforme
Soit f : I → K, on dit que cette fonction est uniformément continue
sur I si et seulement si :
∀ε > 0, ∃η > 0, ∀(x 1 , x 2 ) ∈ I 2 , |x 1 − x 2 | η =⇒ | f (x 1 ) − f (x 2 )| ε
L’uniforme continuité implique la continuité.
Théorème de Heine
Soient (a, b) ∈ R 2 tels que a b et une fonction f : [a; b] → R. Si f est
continue sur [a; b], alors f est uniformément continue sur [a; b].
Applications lipschitziennes
Soient f : I → R et k ∈ R ∗
+ , on dit que la fonction f est klipschitzienne si et seulement si :
∀(x 1 , x 2 ) ∈ I 2 , | f (x 1 ) − f (x 2 )| k|x 1 − x 2 |
Si k ∈ [0; 1[, l’application f est dite contractante.
Une application lipschitzienne est uniformément continue.
c
Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.