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[1] Mathématiques
∀x ∈ X,
x + T ∈ X
f (x + T) = f (x)
Application en escalier
On dit qu’une fonction f : [a; b] → R est en escalier si et seulement
s’il existe une famille (a i ) i∈[0,n] telle que (a 0 , . . . , a n ) ∈ [a; b] n+1 avec
n ∈ N ∗ et une famille (λ 0 , . . . , λ n−1 ) ∈ R n tels que :
a = a 0 < a 1 < · · · < a n−1 < a n = b
∀i ∈ {0, . . . , n − 1}, ∀x ∈]a i ; a i+1 [, f (x) = λ i
Application majorée – minorée – bornée
Une fonction f : X → R est dite :
– majorée si et seulement s’il existe A ∈ R tel que ∀x ∈ X, f (x) A.
– minorée si et seulement s’il existe B ∈ R tel que ∀x ∈ X, f (x) B.
– bornée si et seulement s’il existe (A, B) ∈ R 2 tel que ∀x ∈ X,
B f (x) A.
Limites
Soit f : I → R une application.
On dit que f admet une limite l en a ∈ I si et seulement si :
∀ε > 0, ∃η > 0, ∀x ∈ I, |x − a| η =⇒ | f (x) − l| ε
On dit que f admet une limite l en +∞ si et seulement si :
∀ε > 0, ∃A ∈ R, ∀x ∈ I, x A =⇒ | f (x) − l| ε
On dit que f admet comme limite +∞ en a ∈ I si et seulement si :
∀A > 0, ∃η > 0, ∀x ∈ I, |x − a| η =⇒ f (x) A
On dit que f admet comme limite +∞ en +∞ si et seulement si :
∀A > 0, ∃B > 0, ∀x ∈ I, x B =⇒ f (x) A
On dit que f admet comme limite −∞ en −∞ si et seulement si :
∀A < 0, ∃B < 0, ∀x ∈ I, x B =⇒ f (x) A
Continuité
soit f : I → K, a ∈ I, on dit que cette fonction est continue en a si et
seulement si :
∀ε > 0, ∃η > 0, ∀x ∈ I, |x − a| η =⇒ | f (x) − f (a)| ε
Discontinuité
Soit f : I → K, on dit que :
– f est discontinue en a si et seulement si elle n’est pas continue en a.
– f admet une discontinuité de première espèce en a si et seulement
si f n’est pas continue en a mais admet une limite finie à droite et une
limite finie à gauche en a.